Question

如图,在Rt三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD垂直BC于点D,过A,D的圆交AB于E,交于AC于F

Answer 1

(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形,AD⊥BD

∴AD=BD,∠BAC=90°,∠DAF=∠DBE=45°

∵A,E,D,F共圆

∴∠EDF=180°-∠EAF=90°

∵∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-∠ADE=∠EDF-∠ADE=∠ADF

∴在△ADF与△BDE中,

∠ADF=∠BDE

∠DAF=∠DBE

AD=BD

∴△ADF≌△BDE(AAS)

(2)连接EF

∵BC=4

∴AB=AC=2√2,AD=2

∵AE=√2+1

∴AF=BE=AB-AE=2√2-(√2+1)=√2-1

∴EF²=AE²+AF²=(√2+1)²+(√2-1)²=6

∵△ADF≌△BDE

∴DE=DF

∵∠EDF=180°-∠EAF=90°

令DE=x=DF

∴x²+x²=6

x=√3

∴DE=√3