Question

已知函数f(x)=x/2x+1,x>0,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)；数列{bn}满足b1=1/2,b

Answer 1

an+1=f(an),则有a(n+1)=an/(2an+1),两边取倒数,

1/a(n+1)=(2an+1）/an=2+1/an

则有1/a(n+1)-1/an=2

令cn=1/an

则cn-c(n+1)=2(等差数列,公差为2,首项为c1=1/a1=1)

有cn=1+2(n-1)=2n-1

则an=1/(2n-1)

bn+1=1/1-2f（Sn）化简有

b(n+1)=2Sn+1

sn=[b(n+1)-1]/2,则当n>1时,

bn=sn-s(n-1)=[b(n+1)-1]/2-[bn-1]/2=[b(n+1)-bn]/2

b(n+1)=3bn(bn为等比数列,首项为b2=2,公比为3)

bn=2*3^(n-2) (n>1)(b1=1/2)

Tn=1/a1b1+1/a2b2+...+1/anbn

1/3Tn=...

则Tn-1/3Tn=2-2/3+3/2+[1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)]-(2n-1)/2*3^(n-1)

Tn-1/3Tn=2-2/3+3/2+[1-(1/3)^(n-2)]/2-(2n-1)/2*3^(n-1)

当n取到无穷的时候是Tn最大的时候,此时有

2/3Tn=2-2/3+3/2+1/2-2(2n-1)/3^(n-1)