Question

已知函数f（x）=x+ax2+bx+1是奇函数：

Answer 1

（1）∵函数f（x）=

x+a

x2+bx+1是奇函数

∴由定义

−x+a

x2−bx+1=-

x+a

x2+bx+1，

∴a=b=0；

（2）由（1）知f(x)＝

x

x2+1，∴f′(x)＝

−x2+1

(x2+1)2

∵x＞1，∴f′（x）＜0，∴y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；

（3）由f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0及f（x）为奇函数得：f（t²-2t+3）＜f（1-k）

因为t²-2t+3≥2，1-k＞1，且y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，

所以t²-2t+3＞1-k任意的t∈R恒成立，

因为t²-2t+3的最小值为2，所以2＞1-k，∴k＞-1

∵k＜0，∴-1＜k＜0．