Question

设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直

Answer 1

（Ⅰ）∵点P到定点M（1，0）的距离比点P（x，y）（x≥0）到直线x=-2的距离小1，

∴由抛物线的定义，可得点P的轨迹方程为y²=4x；

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=1，与抛物线方程联立，可得A（1，2），B（1，-2），不满足

OA•

OB=0；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴x₁+x₂=

2k2+4

k2，x₁x₂=1

∴y₁y₂=-4，∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，不满足

OA•

OB=0

∴不存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点；

（III）证明：∵S_△OAB=[1/2•|OM|•|y1−y2|=

1

2|y1−y2|=

|k(x1−x2)|

2]

S_△OAM•|BM|=

1

2•|OM|•|y1|•(x2+1)=

1

2•|k(x1−1)|•(x2+1)=

|k(x1x2+x1−x2−1)|

2

|k(x1−x