Question

已知函数f(x)＝ax+bx+c(a，b，c∈R)满足f（-1）=0，且对任意x＞0都有1≤f(x)≤1+x22x．

Answer 1

解题思路：（1）对

1≤f(x)≤

1+

x

2

2x

赋值x=1，则可求；

（2）由f（-1）=0，f（1）=1，建立方程组，再借助于对任意x＞0都有

1≤f(x)≤

1+

x

2

2x

，从而问题得解；

（3）利用单调性的定义，设0＜x₁＜x₂≤2可有

g(

x

1

)−g(

x

2

)＝

1

4

(

x

1

−

x

2

)

x

1

x

2

−(1−m)

x

1

x

2

＞0

，从而1-m＞x₁x₂恒成立，而0＜x₁x₂＜4，所以1-m≥4，故可求实数m的取值范围．

（1）由1≤f(x)≤1+x22x，令x=1，得1≤f（x）≤1，∴f（1）=1．（2）由f（-1）=0，f（1）=1，得−a−b+c＝0a+b+c＝1⇒c＝12a+b＝12．当x≥0时，1≤f(x)≤1+x22x⇔ax+bx+12≤1+x22x⇔2ax2+x+2b≤1+x2①②⇔2ax2−x+b...

点评：

本题考点： 函数与方程的综合运用；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数解析式的求解，考查恒成立的处理，采用了赋值法，属于中档题．