Question

已知曲线C1上任意一点M到直线l：x=4的距离是它到点F（1，0）距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点，F为焦点的

Answer 1

（Ⅰ）设M（x，y），

∵曲线C₁上任意一点M到直线l：x=4的距离是它到点F（1，0）距离的2倍，

∴2

(x?1)2+y2＝|x?4|，

化简得：

x2

4+

y2

3＝1．

∴C₁的方程为

x2

4+

y2

3＝1，

∵曲线C₂是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，

∴C₂的方程为y²=4x．（4分）

（Ⅱ）由题意设l₂的方程为x=ky+1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，

∴|CD|=|CF|+|DF|=x₁=1+x₂+1

=k（y₁+y₂）+4=4（k²+1）．（7分）

∵l₁⊥l₂，∴设l₁的方程为y=-k（x-1），

代入

x2

4+

y2

3＝1得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，

设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），则x₃+x₄=

8k2

4k2+3，

∴|AB|=|AF|+|BF|=[1/2(4?x3)+

1

2(4?x4)=4-

1

2]（x₃+x₄）=

12(k2+1)

4k2+3.10分

∴四边形ACBD的面积为：

S=[1/2]|AB|?|CD|=

24(k2+1)

4k2+3=

24t2

4t?1=

3

2(4t?1+

1

4t?1+2)=

3

2(s+

1

s+2)，（其中t=k²+1≥1