Question

已知定义在R的函数f(x)的图像关于(-3/4,0)对称 ,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)

Answer 1

f(x)的图像关于(-3/4,0)对称 ==> 若(x,y)在f(x)图象上,则(-3/2-x,-y)也在f(x)图象上,从而得 f(x)=-f(-3/2-x)

又因为已知 f(x)=-f(x+3/2)

所以比较可得 f(x+3/2)=f(-3/2-x), 故f(x)为偶函数,f(1)=f(-1)=1,

而由f(x)=-f(x+3/2)可得 f(x+3)=-f(x+3/2)=f(x),故f(x)以3为周期,f(2)=f(-1)=1,f(3)=f(0)=-2

而2006÷3=668……2

所以,f(1)+f(2)+f(3)+...f(2006)

=669*[f(1)+f(2)+f(3)]-f(3)

=669*(1+1-2)-(-2)

=2