Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点求证：

Answer 1

解题思路：（1）连结AC，BD，由已知得AC⊥BD，CE⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明B₁D₁⊥AE．

（2）取AA₁的中点F，连接FB₁、FD、FE，由已知得四边形B₁FDE是平行四边形，由此能证明AC∥平面B₁DE．

证明：（1）

连结AC，BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵CE⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，

∴CE⊥BD，又AC∩CE=C，

∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，

∴BD⊥AE，

∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE．

（2）取AA₁的中点F，连接FB₁、FD、FE，

∵FB₁=DE，FD=B₁E，

∴四边形B₁FDE是平行四边形，即B₁、F、D、E四点共面，

∵AC∥FE，且AC不在平面B₁FDE内，

∴AC∥平面B₁FDE，即AC∥平面B₁DE．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．