求函数y=1/sin²α+2/cos²α的最小值

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  • 方法一:

    依权方和不等式得

    y=1/sin²α+2/cos²α

    =1²/sin²α+(√2)²/cos²α

    ≥(1+√2)²/(sin²α+cos²α)

    =3+2√2.

    ∴y|min=3+2√2.

    方法二:

    依柯西不等式得

    (sin²α+cos²α)(1/sin²α+2/cos²α)≥(1+√2)²

    →1/sin²α+2/cos²α≥3+2√2.

    ∴y|min=3+2√2.

    方法三:

    用基本不等式

    设a=sin²α,b=cos²α,则a+b=1.

    ∴y=(1/a+2/b)·1

    =(a+b)(1/a+2/b)

    =3+(2a/b+b/a)

    ≥3+2√[(2a/b)·(b/a)]

    =3+2√2.

    ∴y|min=3+2√2.