Question

（16分）如图所示，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一

Answer 1

点M到x轴的最短距离是

+1

设P（x ₀，y ₀），则y ₀=

x

,

∴过点P的切线斜率k=x ₀,

当x ₀=0时不合题意，∴x ₀≠0.

∴直线l的斜率k _l=-

=-

,

∴直线l的方程为y-

x

=-

(x-x ₀).

此式与y=

x ²联立消去y得

x ²+

x- x

-2=0.

设Q（x ₁,y ₁）,M(x,y).∵M是PQ的中点，

∴

,

消去x ₀，得y=x ²+

+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x ²＞0,

∴y=x ²+

+1≥2

+1=

+1.

上式等号仅当x ²=

,即x=±

时成立，

所以点M到x轴的最短距离是

+1.