解题思路：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1可得c，由f（x+1）-f（x）=2x，可得a，b的方程组，解出a，b即可；
（2）表示出F（x），根据对称轴在区间的左边、内部、右边三种情况进行讨论可得F（m）；
（3）由F（m）的表达式可知其单调性，由单调性可求最小值；
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）=1得c=1，
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+c-（ ax2+bx+c）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴
2a＝2
a+b＝0，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x2-x+1；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x2-x+1-（ mx+2）=x2-（m+1）x-1，
当[m+1/2]≤-1，即m≤-3时，F（x）在[-1，2]上递增，∴F（m）=F（-1）=m+1；
当-1＜[m+1/2]＜2，即-3＜m＜3时，F（m）=F（[m+1/2]）=
−4−(m+1)2
4；
当[m+1/2]≥2，即m≥3时，F（x）在[-1，2]上递减，∴F（m）=F（2）=1-2m；
∴F（m）
m+1(m≤−3)
−4−(m+1)2
4(−3＜m＜3)
−2m+1(m≥3)；
（3）当m∈[-1，2]时，F（m）=
−4−(m+1)2
4．
F（m）在[-1，2]上递减，
∴F（m）min=F（2）=−
13
4；
点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；交、并、补集的混合运算；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查二次函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想．