Question

已知m，n∈R，f（x）=x2-mnx．

Answer 1

（1）①当n=1时，不等式f（x）＞2m²，即x²-mx-2m²＞0化为（x-2m）（x+m）＞0；

对m分类讨论可得：当m＞0时，不等式的解集为{x|x＞2m或x＜-m}；

当m=0时，不等式化为x²＞0，其解集为{x|x≠0}；

当m＜0时，不等式的解集为{x|x＞-m或x＜2m}．

②关于x的不等式f（x）+4＞0化为x²-mx+4＞0，即此不等式在x∈[1，3]上有解．

⇔m＜(x+

4

x)max，x∈[1，3]．

令g（x）=x+

4

x，x∈[1，3]．则g′(x)＝1−

4

x2=

x2−4

x2．

令g′（x）=0解得x=2．令g′（x）＞0，解得2＜x＜3，函数g（x）在此区间上单调递增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．

函数g（x）在此区间上单调递减．由g（1）=5，g（3）=4+

1

3，∴g（x）_max=5．

∴m＜5．

∴m的取值范围为（-∞，5）；

（2）证明：f(

1

m)+f(

1

n)=

1

m2−n+

1

n2−m=

(m+n)2−2mn

m2n2−1=

1

m2n2−

2

mn−1

=(

1

mn−1)2−2，

∵m＞0，n＞0，且m+n=1，

∴1≥2

mn，解得0＜mn≤

1

4，

∴

1

mn≥4．当且仅当m＝n＝

1

2时取等号．

∴(

1

mn−1)2≥9，

∴不等式f(

1

m)+f(

1

n)≥7成立．