Question

方阵的秩的证明题设A,B是n阶方阵,证明：线性放生ABx=0与Bx=0同解的充要条件是秩（AB）=秩（B)

Answer 1

ABx＝0的解向量组的秩是n－秩(AB),Bx＝0的解向量组的秩是n－秩(B)

如果ABx＝0与Bx＝0同解,则n－秩(AB)＝n－秩(B),所以秩(AB)＝秩(B)

如果秩(AB)＝秩(B),因为Bx＝0的解都是ABx＝0的解,又两个方程组的解向量组的秩相等,所以两个方程组的解向量组等价,所以ABx＝0的解也是Bx＝0的解.两个方程组同解!