问一道数列极限的问题这道题关于必要性的证明,我看不懂谁能给解释一下,特别是括号里的那些,-

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  • 必要性:对于任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε,则数列{xn}收敛于a

    分析如下:要证明数列{xn}收敛于a,就是要证明对于任意给定的ε1>0,(注意:这个任意给定的ε1只要是正数,并且可以任意小即可,为了与已知的ε有所区别,这里任意给定的是ε1)存在正整数N,当n≥N时,就会恒有|xn-a|≤ε1成立

    可现在任意给定的ε1,如果ε1∈(0,1),由已知当然有|xn-a|≤2ε1(这个由数列收敛的定义,也是收敛的,|xn-a|≤2ε1与|xn-a|≤ε1对于收敛来说是一回事)

    所以对于任意给定的ε1>0,如果ε1不属于(0,1)即ε1>1,那如何证出|xn-a|≤ε1呢?

    因为ε1>1,所以2ε1-1>1只要令ε=1/(2ε1-1),则ε∈(0,1),由题意有|xn-a|≤2ε≤2/(2ε1-1)=1/(ε1-1/2)