也许可以这样解决:
显然36°,72°,72°的三角形的底边与腰长之比为(√5-1)/2(黄金分割数),
所以我们设底边长为1,则有腰长为(√5-1)/2,
则由海伦-秦九韶公式面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)
说明:其中a,b,c为三角形的三条边长,p=(a+b+c)/2.
p=[2*(√5-1)/2+1]/2=√5/2,a=b=(√5-1)/2,c=1,
S=√{(√5/2)[(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-1]}
=√[√5/2*(1/4)*(√5/2-1)]
=√[(5-2√5)]/4,
又S=ab*sin36°/2,
所以S=[(√5-1)/2]^2*sin36°/2
=(3-√5)*sin36°/4
所以√[(5-2√5)]/4=(3-√5)*sin36°/4,
所以sin36°=√[(5-2√5)]/(3-√5)
=√[(5-2√5)]*(3+√5)/[(3-√5)(3+√5)]
=√{[(5-2√5)]*(3+√5)^2}/4
=√[(5-2√5)*(14+2√5)]/4
=[√(10-2√5)]/4.