中线长定理的证明在三角形ABC中的任一一点中就是证明斯特沃特定理。在三角形ABC中的任一一点D,E是重心(就是三条中线的

2个回答

  • 结论最后应该是“加上3个DE的平方”.

    设BC中点为M,在△ADE,△MDE中应用余弦定理,得

    AD^2=AE^2+DE^2-2*AE*DE*cos∠AED,

    MD^2=ME^2+DE^2-2*ME*DE*cos∠MED,

    因为AE=2ME,cos∠AED=-cos∠MED,所以

    AD^2+2MD^2=AE^2+2ME^2+3DE^2.(*)

    DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线,

    2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,

    2EM^2=EB^2+EC^2-BC^2/2,

    代入(*)式,即得

    DA^2+DB^2+DC^2=EA^2+EB^2+EC^2+3DE^2.

    用解析几何的方法也不难证明.还可以用物理中转动惯量的有关定理证明.

    AE=2ME,重心把中线分成2:1的两段.

    cos∠AED=-cos∠MED,因为∠AED+∠MED=180°.

    “DM,EM分别是△DBC,△EBC的中线,

    2DM^2=DB^2+DC^2-BC^2/2,”

    这个一般叫中线长公式,该学过吧.