Question

已知函数f（x）=2x+2-x．（1）证明f（x）是偶函数；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

解题思路：（1）用定义判断函数的奇偶性．其步骤为先判断定义域的对称性，再判断f（x）与f（-x）的关系，另外注意本题书写的格式---先判断后证明．

（2）用定义判断函数的单调性，其步骤是任取两个自变量，对其函数值作差，判断其符号，得出单调性结论，注意本题书写的格式---先判断后证明．

（1）证明：f（x）的定义域为R，…（1分）

且对于任意x∈R，f（-x）=2^-x+2^x=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）

（2）f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（5分）

证明如下：设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，则△x=x₁-x₂＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+

1

2x1)-(2x2+

1

2x2)=2x1-2x2+

1

2x1-

1

2x2=2x1-2x2+

2x2-2x1

2x1+x2=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2)．

因为0＜x₁＜x₂，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2＞0，从而△y＜0，

所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（10分）

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题综合考查了函数的奇偶性和单调性，考查全面，一题多考，知识覆盖面广，技能性强．