Question

设A可逆矩阵且可对角化,证明A^(－1)也可以对角化

Answer 1

证明：A可相似对角化,则存在可逆矩阵P,使得

P^-1*A*P=^=[λi]

由于A为可逆矩阵,故λi≠0（否则A的行列式必为0）.

于是,对等式左右两边求逆,得

P^-1*A^-1*P=^(^-1)=[1/λi]

也即A的可逆阵也可以相似对角化,且相似变换矩阵仍可为P,对角化后矩阵对角线上各元素为P相似对角化后各元素的倒数.

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