解:(根据椭圆定义) a=2 c=√3 b=√(a²-c²)=1
E方程:x²/4+y²=1
(1)由题F1(-√3,0) F2(√3,0)
设切线L方程:y=kx+b
①若k不存在,则切线L为直线x=2或x=-2
|F1M|*|F2N|=(2+√3)*(2-√3)=1
②k存在
联立x²/4+y²=1和y=kx+b
消y得 (1/4+k²)x²+2kbx+b²-1=0
由题△=0 (2kb)²-4(1/4+k²)(b²-1)=0
得：b²=4k²+1 b=√(4k²+1)
所以y=kx+√(4k²+1) 即 kx-y+√(4k²+1)=0
根据点到直线距离公式：|F1M|=|-√3*k+√(4k²+1)|/√(k²+1)
|F2N|=|√3*k+√(4k²+1)|/√(k²+1)
|F1M|*|F2N|=[(4k²+1)-3k²]/(k²+1)=1
综上所述:|F1M|*|F2N|=1
(2)由题意,切线的k存在且不为零
由题(1)得:y=kx+√(4k²+1)
可知A(-√(4k²+1) /k,0) B(0,√(4k²+1) )
|AB|²=[-√(4k²+1) /k]²+[√(4k²+1)]²=4k²+1/k²+5>=2√(4k²*1/k²)+5=9
(根据基本不等式,当且仅当4k²=1/k²时等号成立）
所以|AB|最小值=3 由 4k²=1/k² 得：此时切线斜率为k=√2/2或 k=-√2/2