已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(Ⅰ)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(Ⅱ)若函数g

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  • (Ⅰ)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f′(x)=

    2

    x?2x+2,切点坐标为(1,1),

    切线的斜率k=f'(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2分)

    (Ⅱ)g(x)=2lnx-x2+m,则g′(x)=

    2

    x?2x=

    ?2(x+1)(x?1)

    x,

    ∵x∈[

    1

    e,e],故g'(x)=0时,x=1.

    当[1/e<x<1时,g'(x)>0;

    当1<x<e时,g'(x)<0.

    故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.(4分)

    又g(

    1

    e)=m?2?

    1

    e2],g(e)=m+2-e2,g(e)?g(

    1

    e)=4?e2+

    1

    e2<0,则g(e)<g(

    1

    e),

    ∴g(x)在[

    1

    e,e]上的最小值是g(e).(6分)

    g(x)在[

    1

    e,e]上有两个零点的条件是

    g(1)=m?1>0

    g(

    1

    e)=m?2?

    1

    e2≤0,

    解得1<m≤2+

    1

    e2,

    ∴实数m的取值范围是(1,2+

    1

    e2].(8分)

    (Ⅲ)不妨设1<x1<x2<2,

    f(x1)?f(x2)

    x1?x2<2恒成立等价于f(x2)-f(x1)<2(x2-x1),即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2.(10分)

    令u(x)=f(x)-2x,由x1,x2具有任意性知,u(x)在区间(1,2)内单调递减,

    ∴u'(x)=f'(x)-2<0恒成立,即f'(x)<2恒成立,(12分)

    2

    x?2x+a<2,a<2x?

    2

    x+2在(1,2)上恒成立.

    令h(x)=2x?

    2

    x+2,则h′(x)=2+

    2

    x2>0,(13分)

    ∴h(x)=2x?

    2

    x+2在(1,2)上单调递增,则h(x)>h(1)=2,

    ∴实数a的取值范围是(-∞,2].(14分)