Question

已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k-x）只有一个零点，则实数k的值是______．

Answer 1

解题思路：由函数y=f（x²）+f（k-x）只有一个零点⇒f（x²）+f（k-x）=0只有一解⇔f（x²）=f（x-k）只有一解⇒x²=x-k有唯一解⇒△=1-4k=0，问题得解．

∵函数y=f（x²）+f（k-x）只有一个零点，

∴只有一个x的值，使f（x²）+f（k-x）=0，

∵函数f（x）是奇函数，

∴只有一个x的值，使f（x²）=f（x-k），

又函数f（x）是R上的单调函数，

∴只有一个x的值，使x²=x-k，

即方程x²-x+k=0有且只有一个解，

∴△=1-4k=0，

解得：k=[1/4]．

故答案为：[1/4]．

点评：

本题考点： 函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考察了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容易解决．