Question

∫√1+y2-x2 dx1+y²-x² 开根号关于x的积分

Answer 1

∫ √[(1+y²)-x²] dx,把y视作常数

令x=√(1+y²)*sinu

dx=√(1+y²)*cosu du

√[(1+y²)-x²]=√[(1+y²)-(1+y²)sin²u]=√(1+y²)*cosu

得出cosu=√[(1+y²)-x²]/√(1+y²)

还有sinu=√(1-cos²u)=x/√(1+y²)

原式=(1+y²)*∫cos²u du

=(1+y²)/2*∫(1+cos2u) du

=(1+y²)/2*(u+1/2*sin2u)+C

=(1/2)(1+y²)*{arcsin[x/√(1+y²)]*x√(1+y²-x²)/(1+y²)]}+C