Question

已知数列{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an=2n2+kn恒成立，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：由已知中数列{a_n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，我们易构造一个关于k，n的不等式，而且可以得到该不等式恒成立，结合n∈N*，易求出实数k的取值范围．

∵a_n=2n²+kn

∴a_n+1=2（n+1）²+k（n+1）=2n²+（k+4）n+2+k

又∵数列{a_n}是递增数列，

∴a_n+1＞a_n，即a_n+1-a_n=4n+2+k＞0恒成立

即k＞-（4n+2）恒成立

∵n∈N*

∴4n+2≥6

∴-（4n+2）≥-6

则k＞-6

即实数k的取值范围是（-6，+∞）

故答案为：（-6，+∞）

点评：

本题考点： 数列的函数特性；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是数列的函数特性，二次函数的性质，其中根据已知条件将问题转化为一个不等式恒成立问题是解答本题的关键．