若函数F(x)=(1+22x−1)f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于0,则f(x)为(  )

4个回答

  • 解题思路:先设g(x)=

    1+

    2

    2

    x

    −1

    进行化简,求出函数的定义域,再求出g(-x)与g(x)的关系,判断出g(x)的奇偶性,再由“两个奇函数相乘得奇函数”判断f(x)的奇偶性.

    由题意设g(x)=1+

    2

    2x−1=

    2x+1

    2x−1,且定义域是{x|x≠0},

    ∵g(-x)=

    2−x+1

    2−x−1=

    1+2x

    1−2x=-g(x),∴g(x)=1+

    2

    2x−1是奇函数,

    又函数F(x)=(1+

    2

    2x−1)•f(x)是偶函数,且f(x)不恒等于0,

    ∴f(x)是奇函数,

    故选A.

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题考查了复合函数的奇偶性的判断方法,即分成几个函数并分别判断它们的奇偶性,利用奇函数的个数是奇数或偶数进行判断.