(1)
f(x)=ax^3+bx+c是定义域在R上的奇函数说明f(x)过(0,0)
由此可以得到c=0,f(x)=ax^3+bx
又f'(x)=3ax^2+b
当x=1时,f'(1)=3a+b
故切线为y=(3a+b)x-2a
建立方程组:
3a+b=3,-2a=2
故a=-1,b=6,c=0
(2)f(x)=-x^3+6x
任意x属于(0,1]都有f(x)小于等于k/x成立,等价于k>=x(-x^3+6x)在(0,1]恒成立.令g(x)=-x^4+6x^2,故只要k>=g(x)的最大值即可.
对于g(x)=-x^4+6x^2,g'(x)=-4x^3+12x,在(0,1]上g'(x)>0,故g(x)在(0,1]上单调增加.故g(x)的最大值为g(1)=5
所以k>=5,即k属于[5,正无穷)