已知x、y、z是三个非负整数,满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,则s的最大值与最小值的和为 _

4个回答

  • 解题思路:根据题意,先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值,再求S的最大值与最小值的和.

    法1:要使S取最大值,2x+y最大,z最小,

    ∵x、y、z是三个非负整数,

    ∴z=0,解方程组

    3x+2y=5

    x+y=2,解得:

    x=1

    y=1,

    ∴S的最大值=2×1+1-0=3;

    要使S取最小值,

    联立得方程组

    3x+2y+z=5(1)

    x+y-z=2(2),

    (1)+(2)得4x+3y=7,y=[7-4x/3],

    (1)-(2)×2得,x+3z=1,z=[1-x/3],

    把y=[7-4x/3],z=[1-x/3]代入S=2x+y-z,整理得,S=x+2,当x取最小值时,S有最小值,

    ∵x、y、z是三个非负整数,

    ∴x的最小值是1,

    ∴S最小=3,

    ∴S的最大值与最小值的和:3+3=6;

    法2:∵x+y-z=2,S=2x+y-z,

    ∴S=x+2,

    ∵3x+2y+z=5,x+y-z=2,

    ∴y=[7-4x/3]或z=[1-x/3],

    ∵x,y,z为三个非负有理数,

    ∴[7-4x/3]≥0①,[1-x/3]≥0②,

    解不等式①得,x≤[7/4],

    解不等式②得,x≤1,

    ∴x≤1,

    又x,y,z为三个非负有理数,

    ∴0≤x≤1,

    ∴S的最大值3,最小值3,

    则S的最大值与最小值的和:3+3=6.

    故答案为:6.

    点评:

    本题考点: 函数最值问题.

    考点点评: 本题考查了函数的最值问题.解答时,在给定的范围内(x、y、z是三个非负整数),求一个代数式s=2x+y-z的最值问题,难度较大.所以采取了化归思想,例如,将问题转化为“要使S取最大值,2x+y最大,z最小”.