（1）DNA或△DPA；
；（2）C（4，t），
；（3）a＞0或a＜
或
＜a＜0；（4）
0＜t≤
．
试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标：
∵∠DNA=∠AOB=90°，∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，∵
，∴△AOB≌△DNA（SAS）.
同理△DNA≌△BMC.
∵点P（0，4），AP=t，∴
．
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+
=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax 2+bx+c可以求得
确.
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式
．与抛物线联立方程组，解得x=0或
．
对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围.
（4）根据抛物线的解析式
得到顶点坐标是
．结合已知条件求得a=
，故顶点坐标为
．由抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤
．
试题解析：（1）DNA或△DPA；
.
（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=
．
∵△AOB≌△BMC，∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+
="4." ∴C（4，t）．
又抛物线y=ax 2+bx+c过点O、C，
∴
，解得
.
（3）当t=1时，抛物线为
，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，∴DN=OA=3.
∵D（3，4），∴直线OD为：
．
联立方程组，得
，消去y，得
，
解得，x=0或
.
所以，抛物线与直线OD总有两个交点．
讨论：①当a＞0时，
＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；
②当a＜0时，若
＞3，则a＜
；
若
＜0，则得a＞
．∴
＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜
或
＜a＜0．
（4）∵抛物线为
，∴顶点坐标是
．
又∵对称轴是直线x=
，∴a=
.
∴顶点坐标为：