解题思路：（I）分别求出f（x），g（x）的导数，利用直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，求出它们导数之间的关系．
（II）f（x）在其定义域内为单调函数，则说明导数f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．
（Ⅰ）方法一：∵f′(x)＝p+
p
x2−
2
x，∴f'（1）=2p-2．
设直线，并设l与g（x）=x2相切于点M（x0，y0）
∵g'（x）=2x，∴2x0=2p-2，解得
∴x0＝p−1，y0＝(p−1)2，
代入直线l方程解得p=1或p=3．
方法二：将直线方程l代入y=x2得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）2-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)＝p+
p
x2−
2
x=
px2−2x+p
x2．．
①要使f（x）为单调增函数，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px2-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥
2x
x2+1＝
2
x+
1
x在（0，+∞）恒成立，
又[2
x+
1/x≤1，所以当p≥1，此时f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
②要使f（x）为单调减函数，须f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤
2x
x2+1]，（0，+∞）恒成立，又
2x
x2+1≥0，所以p≤0．当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上，若f（x）在（0，+∞）为单调函数，则p的取值范围为p≥1或p≤0．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的应用，要正确理解函数单调性与导数之间的关系．当函数函数单调递增时，得f'（x）≥0，不能漏掉等号．