解题思路：（1）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到
y
1
x
1
•
y
2
x
2
=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y1y2、y12+y22的关系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案．
（2）先设M（x，y），然后联立y=kx、y=-
x/k]与抛物线求出两交点坐标，进而得到直线OM的斜率、方程和直线AB的方程，最后联立直线OM和直线AB的方程可得到射影M的轨迹方程．
设A、B两点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），AB中点P坐标为（x0，y0），则
x1+x2=2x0
y1+y2=2y0
y1
x1•
y2
x2=-1，即y1y2=-x1x2
y12=2px1
y22=2px2
（y1y2）2=4p2x1x2=-4p2y1y2
y1y2=-4p2
y12+y22=2p（x1+x2）
（y1+y2）2-2y1y2=2p（x1+x2）
4y02+8p2=4px0
y02=px0-2p2
所以中点轨迹方程为：y2=px-2p2
（2）设M（x，y）
y=kx与抛物线联立的交点坐标为（[4p
k2，
4p/k]），y=-[x/k]与抛物线联立的交点坐标为（4pk2，-4pk），
从而kOM=
k2−1
k，故OM方程为：y=
k2−1
kx ①
AB方程为：y+4pk=-[k
k2−1（x-4pk2） ②
①×②得：y2+4pky=-x•（x-4pk2）即：
x2+y2=-4pky+4pk2x=4p•（k2x-ky） ③
由①得：k2x-ky=x代入③并化简得：（x-2p）2+y2=4p2．
所以点M的轨迹方程为：（x-2p）2+y2=4p2，其轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆．
点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．
考点点评： 本题主要考查直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容，每年必考．
1年前
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