解题思路:对任意实数x,不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立,根据二次函数图象与二次不等式解的关系可知须△<0,解此不等式即可.
∵x2+2(1+k)x+3+k>0对任意实数x恒成立,x2的系数1>0
∴△=4(1+k)2-4(3+k)<0,
解得:-2<k<1,
∴k的取值范围是:-2<k<1.
故答案为:-2<k<1.
点评:
本题考点: 函数恒成立问题.
考点点评: 本题考查不等式(函数)恒成立问题.由于本题是二次不等式,故采用数形结合的思想,利用根据二次函数图象与二次不等式解的关系来解决.要掌握好“三个二次”的关系,以及其中蕴含的数形结合、转化的思想方法.