解题思路：（1）利用求导法则求出函数f（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，根据a为不大于零的常数，分a=0，a小于等于-1，以及a大于0小于-1三种情况分别讨论导函数的正负，并利用二次函数的图象与性质，进而确定函数的单调性；
（2）令a=-1，代入函数解析式，由第一问当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，可得a=-1时，函数为减函数，故当x大于0时，f（x）小于f（0），而f（0）=0，故f（x）小于0，即ln（1+x2）＜x，所证不等式左边取为e为底数的对数，利用对数的运算性质化简，并根据ln（1+x2）＜x变形，再利用等比数列的前n项和公式化简，得出其中小于1，最后再根据对数的运算性质即可得证．
（1）f′(x)＝
2x
1+x2+a＝
ax2+2x+a
1+x2，（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0⇔2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0⇔2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当
a＜0
△≤0，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0⇔ax2+2x+a＞0⇔
−1+
1−a2
a＜x＜
−1−
1−a2
a，
f′（x）＜0⇔ax2+2x+a＜0⇔x＜
−1+
1−a2
a或x＞
−1−
1−a2
a，
∴f(x)在(
点评：
本题考点： 等比数列的前n项和；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 此题考查了求导法则，等比数列的前n项和公式，利用导函数的正负判断函数的单调性，二次函数的性质，不等式的证明，函数单调性的应用，以及对数的运算性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的中档题．