Question

已知f(x)＝3x−6x（1）用单调性定义证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（2）函数y=f（x）在区间[1，

Answer 1

解题思路：（1）利用定义证明单调性步骤为：①取值；②作差；③变形；④判号；⑤结论．

（2）利用f（x）的单调性求出A，y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x，令t=2^x，则y=t²-2t，利用二次函数性质可求其最值．

（1）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，

则f(x1)−f(x2)＝

3x1−6

x1−

3x2−6

x2＝

6(x1−x2)

x1x2，

∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴

6(x1−x2)

x1x2＜0，

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）

∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．

（2）由（1）y=f（x）在[1，3]上是增函数，则在区间[1，3]上

当x=1时，y=f（x）有最小值-3，当x=3时，y=f（x）有最大值1，故A=[-3，1]．

y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x

令t=2^x，由A=[-3，1]，得t∈[

1

8，2]，

则 y＝t2−2t，t∈[

1

8，2]，

当t=1，即x=0时，y有最小值-1；

当t=2，即x=1时，y有最大值0．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 定义法是证明函数单调性的一种基本方法，要熟练掌握其步骤，其中变形最关键，对二次函数的最值问题最好借助图象处理．