Question

如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠MAC的平分线交于点O.求证：点O在∠ACN的平分线上.

Answer 1

证：设点P是△ABC的内心,AC交BO于D,

则 2∠ABP+2∠BAP+2∠ACP=180°

⇒∠ABP+∠BAP+∠ACP=90°

∠ABP+∠BAP=∠APO⇒∠APO+∠ACP=90°

又 AP,AO分别是∠BAC和∠CAM的平分线,∠BAC+∠CAM=180°,

所以 ∠CAP+∠CAO=90°⇒∠APO+∠AOP=90°⇒∠AOP=∠ACP

又 ∠ADO=∠PDC⇒△ADO≈△PDC⇒AD/PD=OD/CD⇒△ADP≈△ODC

⇒∠APO=∠OCD⇒∠OCD+∠PCD=90°

因为 ∠ACB+∠ACN=180°,∠BCD=∠PCD,所以 ∠PCD=∠NCO

所以 CO是∠ACN的角平分线.