Question

已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2≠0,求证：a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

Answer 1

ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1

abx+b^2y=b

abx+acy=a

(b^2-ac)y=b-a

y=(b-a)/(b^2-ac) （1）

同理ax+by=1

acx+bcy=c

b^2x+bcy=b

(b^2-ac)x=b-c

x=（b-c）/(b^2-ac)（2）

将（1）（2）代入cx+ay=1

c（b-c）/(b^2-ac)+a(b-a)/(b^2-ac)=1

bc-c^2+ab-a^2=b^2-ac

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca