解题思路:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求出f(x)的单调增区间;
(2)求函数的最值,可以方程相等转化为函数最值之间的关系即可得到结论.
(1)当a=0时,①f(x)=2x-2-2lnx(x>0),
则f′(x)=2−
2
x.x∈(1,+∞)时f′(x)>0,f(x)的增区间(1,+∞)
②f(m)=2m-2-2lnmf(
1
m)=
2
m−2−2ln
1
m=
2
m−2+2lnm
记h(m)=f(m)−f(
1
m)=2m−
2
m−4lnmh′(m)=2+
2
m2−
4
m=
2m2−4m+2
m2=
2(m−1)2
m2≥0,
∴h(m)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,
∴(0,1)时,h(m)<0,(1,+∞)时,h(m)>0,
∴m∈(0,1)f(m)<f(
1
m);m∈(1,+∞)f(m)>f(
1
m);m=1时,f(m)=f(
1
m)
(2)∵g′(x)=ex-1,当x∈(0,1],g′(x)>0,
∴函数g(x)在区间(0,1]上是增函数.∴g(x)∈(2,e]
当a=2时,f(x)=-2lnx,不符题意当a≠2时,f′(x)═2−a−
2
x=
(2−a)x−2
x,
由题意有f(x)在(0,e]上不单调0<
2
2−a<e,
∴a<2−
2
e
①(0,
2
2−a),f′(x)<0,(
2
2−a,e],f′(x)>0,
∴f(x)先减后增,即
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,确定函数的最大值是关键.综合性较强,运算量较大.