已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx.(a为常数)

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  • 解题思路:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求出f(x)的单调增区间;

    (2)求函数的最值,可以方程相等转化为函数最值之间的关系即可得到结论.

    (1)当a=0时,①f(x)=2x-2-2lnx(x>0),

    则f′(x)=2−

    2

    x.x∈(1,+∞)时f′(x)>0,f(x)的增区间(1,+∞)

    ②f(m)=2m-2-2lnmf(

    1

    m)=

    2

    m−2−2ln

    1

    m=

    2

    m−2+2lnm

    记h(m)=f(m)−f(

    1

    m)=2m−

    2

    m−4lnmh′(m)=2+

    2

    m2−

    4

    m=

    2m2−4m+2

    m2=

    2(m−1)2

    m2≥0,

    ∴h(m)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,

    ∴(0,1)时,h(m)<0,(1,+∞)时,h(m)>0,

    ∴m∈(0,1)f(m)<f(

    1

    m);m∈(1,+∞)f(m)>f(

    1

    m);m=1时,f(m)=f(

    1

    m)

    (2)∵g′(x)=ex-1,当x∈(0,1],g′(x)>0,

    ∴函数g(x)在区间(0,1]上是增函数.∴g(x)∈(2,e]

    当a=2时,f(x)=-2lnx,不符题意当a≠2时,f′(x)═2−a−

    2

    x=

    (2−a)x−2

    x,

    由题意有f(x)在(0,e]上不单调0<

    2

    2−a<e,

    ∴a<2−

    2

    e

    ①(0,

    2

    2−a),f′(x)<0,(

    2

    2−a,e],f′(x)>0,

    ∴f(x)先减后增,即

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查存在性问题,确定函数的最大值是关键.综合性较强,运算量较大.