Question

已知a,b,c>0,且abc=1,求证：(2+a)(2+b)(2+c)>=27

Answer 1

由柯西不等式：

(2+1)(2+a)>=(2+√a)^2

(2+b)(2+c)>=[2+√(bc)]^2

上两式相乘有：3(2+a)(2+b)(2+c)>=(2+√a)^2[2+√(bc)]^2

再由柯西不等式：(2+√a)[2+√(bc)]>=[2+四次根号(abc)]^2

由于abc=1,所以2+四次根号(abc)=2+1=3

所以(2+√a)[2+√(bc)]>=3^2=9

即有3(2+a)(2+b)(2+c)>=(2+√a)^2[2+√(bc)]^2>=9^2=81

上式即(2+a)(2+b)(2+c)>=81/3=27

得证.