第一题：应该是求证：（cosα）^2/［cot（α/2）－tan（α/2）］＝（1/4）sin2α 吧!
（cosα）^2/［cot（α/2）－tan（α/2）］
＝（cosα）^2/［cos（α/2）/sin（α/2）－sin（α/2）/cos（α/2）］
＝（cosα）^2sin（α/2）cos（α/2）/｛［cos（α/2）］^2－［sin（α/2）］^2｝
＝（1/2）（cosα）^2sinα/cosα
＝（1/2）cosαsinα
＝（1/4）sin2α.
第二题：
∵向量a＋向量b＋向量c＝0,∴｜向量a｜、｜向量b｜、｜向量c｜构成了一个三角形.
设向量a与向量b的夹角为θ,则由余弦定理,有：
cosθ＝（｜向量a｜^2＋｜向量b｜^2－｜向量c｜^2）/（2｜向量a｜｜向量b｜）
＝（9＋25－49）/（2×3×5）＝－1/2,
∴θ＝120°.
即：向量a与向量b的夹角为120°.
第三题：
∵向量AM＝（1/3）向量AB、向量AN＝（1/3）向量AC,∴AM/AB＝AN/AC＝1/3,
∴MN∥BC,∴△AMN∽△ABC、△PNM∽△PBC.
由△AMN∽△ABC,得：MN/BC＝AM/AB＝1/3.
由△PNM∽△PBC,得：PM/PC＝MN/BC＝1/3,∴PM＝（1/4）CM.
∴向量MP＝（1/4）向量MC.
而向量MC＝向量AC－向量AM＝向量b－（1/3）向量AB＝向量b－（1/3）向量a,
∴向量MP＝（1/4）向量b－（1/12）向量a,
∴向量AP＝向量AM＋向量MP＝（1/3）向量AB＋（1/4）向量b－（1/12）向量a
＝（1/3）向量a＋（1/4）向量b－（1/12）向量a
＝（1/4）向量a＋（1/4）向量b.
即：向量AP＝（1/4）向量a＋（1/4）向量b.
第四题：
当绳子与地面所成的角为θ时,拉力F在水平方向上的分力为Fcosθ.
显然,当cosθ＝1时,Fcosθ的值最大,即此时最省力.
由cosθ＝1,得：θ＝0°.
即：绳子与地面平行（绳子与地面所成的角为0°）时,所用的拉力F最小.