已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R.

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  • 解题思路:(1)先对函数解析式整理,然后利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数f(x)的解析式,进而利用正弦函数的性质性质求得函数的最小正周期.

    (2)根据(1)中函数的解析式,利用正弦函数的单调性求得函数递增时2x+[π/4]的范围,进而求得x的范围,即函数f(x)的递增区间.

    (1)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

    =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x

    =1+sin2x+(1+cos2x)

    =sin2x+cos2x+2

    =

    2sin(2x+

    π

    4)+2,

    ∴函数的最小正周期T=[2π/2]=π.

    (2)由2kπ−

    π

    2≤2x+

    π

    4≤2kπ+

    π

    2,得kπ−

    8≤x≤kπ+

    π

    8(k∈Z),

    ∴函数的增区间为[kπ−

    8,kπ+

    π

    8](k∈Z).

    点评:

    本题考点: 三角函数的周期性及其求法;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系,二倍角公式和两角和公式化简求值.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.