解题思路：由函数f（x+1）的图象关于直线x+1=0对称，结合函数的图象的平移可知函数y=f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数，对已知条件赋值可求f（3）=f（-3）=0，可得函数是以6为周期的周期函数，可求
∵函数f（x+1）的图象关于直线x+1=0对称
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵∀x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3）
令x=-3可得f（3）=f（-3）+2f（3）
∴f（-3）=-f（3）=f（3）
∴f（3）=f（-3）=0
∴f（x+6）=f（x）即函数是以6为周期的周期函数
∴f（2012）=f（2）=f（-2）=2012
故选B
点评：
本题考点： 函数的值．
考点点评： 本题主要考查了利用赋值求解抽象函数的函数值，函数的图象的平移及偶函数的性质的应用，函数的周期的求解是求解本题的关键