Question

已知x1，x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．

Answer 1

解题思路：（1）化简方程，用分解因式法求出两根；

（2）直角三角形的面积为[1/2]x₁x₂，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．

（1）原方程变为：x²-（m+2）x+2m=p²-（m+2）p+2m，

∴x²-p²-（m+2）x+（m+2）p=0，

（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，

即（x-p）（x+p-m-2）=0，

∴x₁=p，x₂=m+2-p；

（2）根据（1）得到

直角三角形的面积为[1/2]x₁x₂=[1/2]p（m+2-p）

=−

1

2p²+[1/2]（m+2）p

=-[1/2]（p-[m+2/2]）²+

(m+2)2

8，

∴当p=[m+2/2]（m＞-2）时，以x₁，x₂为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为

(m+2)2

8或[1/2]p²．

点评：

本题考点： 二次函数的最值．

考点点评： 本题是综合性较强的题，利用了分解因式法求方程的根，利用了二次函数求最值．