Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；

（Ⅱ）由第一问c=2a，代入a+b+c=5中，表示出b，利用余弦定理列出关系式，将表示出的b，c以及cosB代入求出a的值，即可确定出b的值．

（Ⅰ）在△ABC中，有[a/sinA]=[b/sinB]=[c/sinC]=2R，

又b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，

∴sinB（cosA-2cosC）=（2sinC-sinA）cosB，即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，

∴sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，

则c=2a，即[c/a]=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）∵c=2a，a+b+c=5，

∴b=5-（a+c）=5-3a，

由余弦定理得：b²=c²+a²-2accosB，

∴（5-3a）²=（2a）²+a²-4a²×[1/4]，

解得：a=1或a=5，

当a=1时，b=2；当a=5时，与a+b+c=5矛盾，

则b=2．

点评：

本题考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．