其实你的问题很大,数学里关于这两个问题有许多很令人费解的问题.此处只讨论常见情况.
首先,理论上来说,若要求一个曲线上的点的坐标,一般来说需要知道这条曲线的表达式,无论是以函数形式给出的,还是方程形式给出的.只有这样,当你给出一个规定条件（比如说y=10x,在x=2时）,才能够写出这个条件下曲线上规定点的坐标值.
至于曲线的长度计算,一般来说也是建立在知道曲线表达式的前提下进行的.
拿一元函数来说,曲线长度=∫（1+(y')^2)^(1/2) dx.积分上下限就是起始端x的值和终点x的值.总之,一般的曲线长度都是用积分得到的.
ps：当然有些病态的函数处处连续,但处处不可导（比如y=∑(a^n)cos( (b^n)πx）,n从0变化到∞）,这种曲线的长度虽然也是积分得到的,但不是我们常见的积分形式,被称作勒贝格积分.
总之,解析式一般来说是必要的.