Question

二元函数的极值

Answer 1

z=x^4+y^4-(x+y^2)^2=x^4-x^2-2xy^2, z'=4x^3-2x-2y^2, z'=-4xy,

令 z'=0, z'=0, 联立解得驻点 O(0,0), A(1/√2,0), B(-1/√2,0),

z''=12x^2-2, z''=-4y, z''=-4x,

对于A(1/√2,0), A=z''=4,B=z''=0,C=z''=-2√2,

AC-B^20,B=z''=0,C=z''=2√2,

AC-B^2>0, 是极小值点,极小值 z(-1/√2,0)=-1/4.

对于O(0,0), A=z''=-2,B=z''=0,C=z''=0, AC-B^2=0, 方法失效.

z(0,0)=0, 邻域内的函数值与x的正负有关,不是极值点.