解题思路：（1）由
b
n+1
−1
b
n
−1
＝
1
a
n+1
−
1
2
−1
1
a
n
−
1
2
−1
＝
1
3+4
a
n
12−4
a
n
−
1
2
−1
1−
a
n
+
1
2
a
n
−
1
2
＝
15−10
a
n
6
a
n
−3
3−2
a
n
2
a
n
−1
＝
5
3
．知数列{bn-1}是等比数列．
（2）由
b
n
＝
1
a
n
−
1
2
，得
a
n
b
n
＝1+
1
2
b
n
，知
a
n
b
n
＝1+
1
2
[1+(
5
3
)
n−1
]＝
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n−1
，由此知
S
n
＝
n
k＝1
[
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n−1
]＝
3
2
n+
1
2
[
(
5
3
)
n
−1]
5
3
−1
=[3/2n+
3
4
(
5
3
)
n
−
3
4]．
（3）由
b
n
＝
1
a
n
−
1
2
，得
a
n
＝
1
b
n
+
1
2
，∴
a
n
−
b
n
＝
1
b
n
+
1
2
−
b
n
＝
1
b
n
−
b
n
+
1
2
、又由（2）知，
b
n
＝1+(
5
3
)
n−1
，数列{bn}单调递增，所以数列an-bn为单调递减数列，由此知数列an-bn中存在最大项且为该数列中的首项，其值为-1．
（1）∵
bn+1−1
bn−1＝
1
an+1−
1
2−1
1
an−
1
2−1＝
1
3+4an
12−4an−
1
2−1
1−an+
1
2
an−
1
2＝
15−10an
6an−3
3−2an
2an−1＝
5
3．
∴数列{bn-1}是等比数列，首项为b1−1＝
1
a1−
1
2−1＝1，公比为[5/3]．
（2）由bn＝
1
an−
1
2，得anbn＝1+
1
2bn．
由（1）得bn−1＝(
5
3)n−1， ∴bn＝1+(
5
3)n−1，
∴anbn＝1+
1
2[1+(
5
3)n−1]＝
点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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9
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