Question

等差数列{an}中，a1=23，公差d为整数，若a6＞0，a7＜0．（1）求公差d的值；（2）求通项公式an；（3）求前

Answer 1

解题思路：（1）利用等差数列的通项公式化简已知两不等式的左边，并将a₁的值代入，得到关于d的两个不等式，组成不等式组，求出不等式组的解集，得到d的范围，找出取值范围中的整数，即可得到d的值；

（2）由a₁及求出的d，写出等差数列的通项公式即可；

（3）由a₁及求出的d，写出等差数列的前n项和S_n，整理后得到S_n与n成二次函数关系，配方后得到二次函数的顶点式，再根据n为正整数，即可得到S_n取得最大值时n的值，进而求出此时前n项和S_n的最大值．

（1）∵等差数列{a_n}中，a₁=23，且a₆=a₁+5d＞0，a₇=a₁+6d＜0，

∴23+5d＞0，且23+6d＜0，

解得：-[23/5]＜d＜-[23/6]，又d为整数，

∴d=-4；

（2）∵a₁=23，d=-4，

∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=23-4（n-1）=27-4n；

（3）∵a₁=23，d=-4，

∴前n项和S_n=na₁+

n(n−1)

2d=23n-2n（n-1）=-2n²+25n=-2（n-[25/4]）²+[625/8]，

当n=[25/4]时，S_n有最大值，最大值为[625/8]，

而n为正整数，∴当n=6时，前n项和S_n最大，

则前n项和S_n最大值为S₆=-2×6²+25×6=78．

点评：

本题考点： 等差数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．

考点点评： 此题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，二次函数的性质，以及等差数列的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．