在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足c=2bcosA.

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  • 解题思路:(1)利用正弦定理化简已知的等式,再利用内角和定理及诱导公式化简,根据两角和与差的正弦函数公式变形化简得证;

    (2)由(1)得出的A=B,利用等角对等边得到a=b,由C为三角形的内角,以及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,利用三角形的面积公式,根据已知的面积列出关于a的方程,求出方程的解得到a与b的值,再利用余弦定理即可求出c的值.

    (1)由c=2bcosA,根据正弦定理,得:sinC=2sinBcosA,

    又在△ABC中,A+B+C=π,

    ∴sinC=sin(A+B),

    ∴sin(A+B)=2sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA,

    ∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,

    又A、B为三角形内角,

    ∴A=B;

    (2)由(1)得A=B,∴a=b,

    ∵角C为三角形内角,且cosC=[4/5],

    ∴sinC=

    1−cos2C=[3/5],

    又S=[15/2],即S=[1/2]absinC=[1/2]a2×[3/5]=[15/2],

    解得:a=5,

    由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=10,

    解得:c=

    10.

    点评:

    本题考点: 正弦定理;余弦定理.

    考点点评: 此题考查了正弦定理、余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.