Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧面ACC1A1是∠A1AC＝π3的菱形，且侧面ACC1A1⊥

Answer 1

解题思路：（1）先证明AC⊥平面A₁BD，再利用面面垂直的判定，证明平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；

（2）证明BD⊥平面ACE，过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则可得∠BFD为二面角A-EC-B的平面角，求出BD、DF的长，即可求得tan∠BFD的值．

（1）证明：∵底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是∠A1AC＝

π

3的菱形，D为AC的中点

∴AC⊥A₁D，AC⊥BD

∴A₁D∩BD=D

∴AC⊥平面A₁BD

∵AC⊂平面ACC₁A₁，

∴平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；

（2）∵AA₁∥BB₁，CE⊥BB₁，∴CE⊥AA₁，

∴E为AA₁的中点

∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE

过点D作DF⊥CE，垂足为F，连接BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为二面角A-EC-B的平面角

∵DF⊥CE，∴DF=[1/2AE

设AB=a，则BD=

3

2a，DF=

1

2AE=

1

4AA1＝

1

4a

∴tan∠BFD=

BD

DF]=2

3

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．