C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P 1（﹣1，1），P 2（﹣2，﹣1）两点．
试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP 1垂直于AB，且AP 1=AB，过P 1作P 1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1，利用AAS可证明三角形AP 1M与三角形ACD全等，得出AP 1与P 1M的长，再由P 1为第二象限的点，得出此时P 1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP 2垂直于BA，且BP 2=BA，过P 2作P 2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP 2N与三角形AOB全等，得出P 2N与BN的长，由P 2为第三象限的点，写出P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP 3垂直于BA，且BP 3=BA，如图所示，过P 3作P 3H垂直于y轴，同理可证明三角形P 3BH全等于三角形AOB，可得出P 3H与BH的长，由P 3为第四象限的点，写出P 3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，﹣1）；
（2）①∵抛物线y=﹣
x 2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），
∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣
+3a+2，解得：a=
，
则抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P 1使得P 1A=CA，得到等腰直角三角形ABP 1，过点P 1作P 1M⊥x轴，如图所示，
∵AP 1=CA，∠MAP 1=∠CAD，∠P 1MA=∠CDA=90°，
∴△AMP 1≌△ADC，
∴AM=AD=2，P 1M=CD=1，
∴P 1（﹣1，1），经检验点P 1在抛物线y=﹣
x 2+
x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 2⊥BA，且使得BP 2=AB，
得到等腰直角三角形ABP 2，过点P 2作P 2N⊥y轴，如图，
同理可证△BP 2N≌△ABO，
∴NP 2=OB=2，BN=OA=1，
∴P 2（﹣2，﹣1），经检验P 2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣
x 2+
x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP 3⊥BA，且使得BP 3=AB，
得到等腰直角三角形ABP 3，过点P 3作P 3H⊥y轴，如图，
同理可证△BP 3H≌△BAO，
∴HP 3=OB=2，BH=OA=1，
∴P 3（2，﹣3），经检验P 3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣
x 2+
x+2上；
则符合条件的点有P 1（﹣1，1），P 2（﹣2，﹣1）两点．