Question

已知k∈R，函数f（x）=mx+knx（m＞0且m≠1，n＞0且n≠1）．

Answer 1

解题思路：（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），转化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根据n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值．如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），可转化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根据n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值．

（2）根据m＞1＞n＞0，则[m/n]，当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数，当k＞0时，求出导函数f'（x），令f'（x）=0求出极值点，从而求出函数的单调区间．

（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，

即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，则 （n^x-m^x）（k-1）=0．

由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1，即当k=1时，f（x）为偶函数．（3分）

如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，

即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，则 （n^x+m^x）（k+1）=0．

由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1，即k=-1时，f（x）为奇函数．

（2）m＞1＞n＞0，则[m/n]＞1，∴当k≤0时，显然f（x）=m^x+kn^x在R上为增函数．

当k＞0时，令 f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=n^x•[(

m

n)x+lnm+klnn]=0，

可得[(

m

n)x+lnm+klnn]=0，(

m

n)x=-k[lnn/lnm]=-klog_mn，∴x=log

m

n(−klogmn)．

在（-∞，log

m

n(−klogmn) ）上，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；

在（ log

m

n(−klogmn)，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及利用导数研究函数的单调性和图形的对称性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．