Question

常系数齐次线性全微分方程e^x=cos x ? Euler's form

Answer 1

e^(ix)和e^(-ix)是此方程的两个无关解基,但是是复数域的解基,即y=C1e^(ix)+C2e^(-ix) (C1,C2为复数)

要求其在实数范围内的解基,需要采用欧拉公式y=C1[cosx+isinx]+C2[cosx-isinx]

y=(C1+C2)cosx+(C1-C2)isinx,当C1与C2是一对共轭复数的时候,y=(C1+C2)cosx+(C1-C2)isinx是实数,这时令C3=C1+C2,C4=(C1-C2)i (易知C3与C4均是实数),就转化成了实数范围的解基：

y=C3cosx+C4sinx (C3,C4为任意实数)